Adelitusn.ru

ПК и Техника
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Как найти обратную матрицу

Как найти обратную матрицу?

где E — единичная матрица тех же порядков, что и А. Матрица A -1 называется обратной к матрице A.

Если кто-то забыл, в единичной матрице, кроме диагонали, заполненной единицами, все остальные позиции заполнены нулями, пример единичной матрицы:

%d0%ba%d0%b0%d0%ba-%d0%bd%d0%b0%d0%b9%d1%82%d0%b8-%d0%be%d0%b1%d1%80%d0%b0%d1%82%d0%bd%d1%83%d1%8e-%d0%bc%d0%b0%d1%82%d1%80%d0%b8%d1%86%d1%83_html_93d85071e8356ff8

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы

Обратная матрица определяется формулой:

Т.е. для вычисления обратной матрицы, нужно вычислить определитель этой матрицы. Затем найти алгебраические дополнения для всех её элементов и составить из них новую матрицу. Далее нужно транспортировать эту матрицу. И каждый элемент новой матрицы поделить на определитель исходной матрицы.

Рассмотрим несколько примеров.

Найти A -1 для матрицы

Р е ш е н и е. Найдём A -1 методом присоединённой матрицы. Имеем det A = 2. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы A. В данном случае алгебраическими дополнениями элементов матрицы будут соответствующие элементы самой матрицы, взятые со знаком в соответствии с формулой

Имеем A11 = 3, A12 = -4, A21 = -1, A22 = 2. Образуем присоединённую матрицу

Транспортируем матрицу A*:

Находим обратную матрицу по формуле:

Методом присоединённой матрицы найти A -1 , если

Р е ш е н и е. Прежде всего вычисляем определитесь данной матрицы, чтобы убедиться в существовании обратной матрицы. Имеем

Здесь мы прибавили к элементам второй строки элементы третьей строки, умноженные предварительно на (-1), а затем раскрыли определитель по второй строке. Так как определитесь данной матрицы отличен от нуля, то обратная к ней матрица существует. Для построения присоединённой матрицы находим алгебраические дополнения элементов данной матрицы. Имеем

В соответствии с формулой

транспортируем матрицу A*:

Тогда по формуле

Нахождение обратной матрицы методом элементарных преобразований

Кроме метода нахождения обратной матрицы, вытекающего из формулы (метод присоединенной матрицы), существует метод нахождения обратной матрицы, называемый методом элементарных преобразований.

Элементарные преобразования матрицы

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1) перестановка строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

Для нахождения матрицы A -1 построим прямоугольную матрицу В = (А|Е) порядков (n; 2n), приписывая к матрице А справа единичную матрицу Е через разделительную черту:

Читайте так же:
Как сменить имя аккаунта в стиме?

Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, приводим матрицу В к виду (Е|А-1), что всегда возможно, если матрица А невырождена.

Методом элементарных преобразований найти A -1 , если

Р е ш е н и е. Образуем матрицу B:

Обозначим строки матрицы B через α1, α2, α3. Произведём над строками матрицы B следующие преобразования:

В результате последнего получаем

Нахождение обратных матриц в wxMaxima и Maxima

Для нахождения обратных матриц в wxMaxima и Maxima используется функция invert:

01

Эта функция равнозначна возведению матрицы в степень -1 (M^^-1).

Ещё одна функция в wxMaxima и Maxima для нахождения обратных матриц — invert_by_adjoint. Она находит обратную матрицу методом присоединения.

Также можно упомянуть функцию invert_by_lu, которая находит обратную матрицу используя LU-факторизацию.

Учите КОМПЬЮТЕР вместе с нами!

Для этого устанавливаем курсор мыши в ячейке В8 и удерживая левую кнопку мыши, растягиваем область выделения до ячейки Е14. Таким образом, мы выделили диапазон ячеек, куда должна вернуться транспонированная матрица. Далее, не снимая выделения, нажимаем на клавиатуре клавишу <F2>, а затем одновременно комбинацию кнопок <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>. Чудо произошло! Весь выделенный диапазон заполнится нужными значениями!

Этот же прием мы будем неоднократно использовать ниже, во время умножения матриц друг на друга, а также нахождения обратной матрицы.

И, как обещал, еще один, очень быстрый способ транспонирования с помощью буфера обмена. Сначала выделяем диапазон ячеек В2:Н5 с исходной матрицей и во вкладке «Главная» нажимаем кнопку «Копировать». Затем устанавливаем курсор мыши в ячейку, начиная с которой мы хотим получить транспонированную матрицу. В нашем случае это ячейка В17.

Во вкладке «Главная» нажимаем кнопку «Вставить», «Специальная вставка». В открывшемся окне выделяем флаг «Транспонировать», как показано на рисунке, и нажимаем кнопку «ОК».

В результате диапазон ячеек В17:Е23 сразу же заполнится транспонированной матрицей!

Конечный результат матричных преобразований имеет вид:

2. Сложение матриц. Здесь нет никакой хитрости, все очень просто. Сложение выполняется для двух матриц одинаковой размерности. Каждый элемент суммарной матрицы равен сумме соответствующих элементов двух исходных матриц.

На данном рисунке в ячейках В2:D6 и F2:H6 приведены две исходные матрицы размерности 5х3, которые необходимо сложить.

Читайте так же:
Удаление аккаунта в Вайбере

В ячейках J2:L6 находится результирующая суммарная матрица. Как мы ее получили? Прежде всего, вводим в ячейку J2 формулу =B2+F2 и нажимаем <ENTER>.

Затем выделяем ячейку J2 еще раз, наводим острие курсора мыши на ее правый нижний угол, чтобы он принял вид крестика, и удерживая левую кнопку мыши, растягиваем формулу до ячейки L6.

3. Умножение матриц. Как было сказано выше, мы можем умножать матрицу на число или перемножать матрицы между собой.

В случае умножения исходной матрицы на число, мы должны каждый ее элемент умножить на это число, как показано на рисунке:

Исходная матрица находится в ячейках D4:F8. Умножим ее на число, которое записано в ячейке В6, то есть, на 12.

Для этого в ячейку Н4 я ввел формулу =D4*$B$6 и растянул ее за правый нижний угол до ячейки J8.

Умножение двух матриц выполняется встроенной функцией Excel =МУМНОЖ(). Здесь нужно обратить внимание:

Учитывая все вышесказанное, получим:

В ячейках В14:D18 и F15:I17 находятся исходные матрицы, которые нужно перемножить. Первая матрица имеет 3 столбца, а вторая — 3 строки. То есть, первое правило выполняется.

В результате мы должны получить матрицу размерностью: 5х4. То есть, она должна иметь 5 строк, так как первая матрица тоже имеет 5 строк и должна иметь 4 столбца, так как вторая матрица имеет 4 столбца.

В ячейку К14 я ввел формулу: =МУМНОЖ(В14:D18;F15:I17) и нажал <ENTER>. А дальше имеем точно такую же ситуацию, как и с функцией =ТРАНСП(). Выделяем ячейки K14:N18 начиная с ячейки К14, нажимаем F2, а затем комбинацию <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.

В результате ячейки K14:N18 будут содержать результат умножения исходных матриц друг на друга.

4. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы связано с использованием встроенной функции =МОБР() и также имеет ограничение:

В ячейках В2:F6 содержится исходная квадратная не вырожденная матрица. Обратную матрицу будем находить в ячейках В9:F13. Для этого вводим в ячейку В9 формулу =МОБР(В2:F6) и нажимаем <ENTER>. Затем выделяем ячейки В9:F13 начиная с ячейки В9, нажимаем F2, а затем комбинацию <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>. На этом все.

5. Определитель матрицы. Определитель матрицы будем находить с помощью встроенной функции =МОПРЕД(). Как и в случае с обратной матрицей, определитель мы будем находить только для квадратной матрицы.

Читайте так же:
Как обновить Adobe Flash Player в Яндекс.Браузере

По аналогии с предыдущим примером, пусть в ячейках В2:F6 содержится исходная квадратная не вырожденная матрица. Тогда, для нахождения ее определителя введем в ячейку В9 формулу =МОПРЕД(В2:F6).

В данном случае функция возвращает единственное число, а не массив значений, поэтому никаких дополнительных действий не требуется.

Нахождение обратной матрицы

Обратную матрицу можно найти с помощью двух ниже описанных методов.

Нахождение обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы

Если к квадратной матрице дописать справа единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками добиться того, чтобы начальная матрица, стоящая в левой части, стала единичной, то полученная справа будет обратной к исходной.

Задание. Для матрицы $ A=left( begin <7>& <4>\ <5>& <3>endright) $ найти обратную методом присоединенной матрицы.

Решение. Приписываем к заданной матрице справа единичную матрицу второго порядка:

От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):

От второй строки отнимаем две первых:

Первую и вторую строки меняем местами:

От второй строки отнимаем две первых:

Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:

Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.

Если на некотором этапе в «левой» матрице получается нулевая строка, то это означает, что исходная матрица обратной не имеет.

Облегченный способ для матрицы второго порядка

Для матрицы второго порядка можно немного облегчить нахождение обратной, используя следующий алгоритм:

Шаг 1. Находим определитель $ Delta $ заданной матрицы, если он равен нулю, то делаем вывод, что обратной матрицы не существует, иначе переходим к следующему шагу.

Шаг 2. Элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный.

Шаг 3. Делим все элементы на $ Delta $ и получаем обратную матрицу.

Нахождение обратной матрицы не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. Найти обратную матрицу для $ A=left( begin <1>& <2>\ <2>& <4>endright) $

Читайте так же:
Как зарегистрироваться в ICQ на компьютере

Решение. Шаг 1. $ Delta=left| begin <1>& <2>\ <2>& <4>endright|=4-4=0 $ , тогда обратной матрицы не существует.

Ответ. Так как определитель матрицы $A$ равен нулю, то она не имеет обратной.

Задание. Найти обратную матрицу для $ A=left( begin <1>& <1>\ <1>& <2>endright) $

Решение. Шаг 1. Находим определитель: $ Delta=left| begin <1>& <1>\ <1>& <2>endright|=2-1=1 neq 0 $

Нахождение обратной матрицы с помощью союзной матрицы

Имеет место следующее свойство: $ A cdot widetilde^=|A| cdot E $

Таким образом, матрица имеет союзную тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Задание. Найти обратную матрицу к матрице $ A=left( begin <1>& <0>& <2>\ <2>& <-1>& <1>\ <1>& <3>& <-1>endright) $

Решение. Вычисляем определитель матрицы:

$$ -1 cdot(-1) cdot 2-3 cdot 1 cdot 1-2 cdot 0 cdot(-1)=1+12+0+2-3+0=12 neq 0 $$

Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную. Обратная матрица $A^<-1>$ к матрице $A$ находится по формуле:

Как найти обратную матрицу методом Гаусса

Матрица A −1 считается обратной для матрицы A, если при умножении A −1 на исходную матрицу получится новая матрица E, на главной диагонали которой расположены единицы, а вокруг них – нули. Образованная матрица E является единичной диагональной матрицей и может быть записана с помощью формулы: E=A×A −1 .

Инверсия матрицы существует лишь для квадратных матриц (с одинаковым количеством строк и столбцов) с детерминантом, не равном нулю. Такие матрицы называются невырожденными .

Наиболее наглядно обратная матрица рассматривается на примере матрицы 3×3. Ее возможно обобщить с аналогичными произвольными матрицами.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Свойства обратных матриц

  1. Обратное значение обратной матрицы A −1 эквивалентно исходной матрице A: (A −1 ) −1 =A.
  2. Определитель исходной матрицы A соответствует обратному значению детерминанта обратной матрицы A −1 : |A|=1/|A −1 |.
  3. Матрица, обратная матрице A, умноженной на коэффициент λ≠0, равна значению, полученному при умножении обратной матрицы A −1 и обратного значения коэффициента λ, то есть (λ×A) −1 =A −1 /λ.
  4. Обратное значение произведения обратимых матриц A и B с одинаковым числом строк и столбцов будет равно значению, полученному при умножении матриц, обратных исходным, то есть (A×B) −1 =B −1 ×A −1 .
  5. Обратная матрица транспонированной матрицы эквивалентна транспонированной обратной матрице (A −1 ) T =(A T ) −1 .
Читайте так же:
Удаление приложений с iPhone и телефона на Android

Метод Гаусса для решения

Метод Гаусса – это правило, применяющееся в решении СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений). Данный метод имеет следующие плюсы:

  1. Не нужно производить проверку системы уравнения на совместность.
  2. Можно решать системы уравнений со следующими условиями:
  • при равенстве числа определителей и неизвестных переменных;
  • при несовпадении количества детерминантов и неизвестных переменных;
  • при определителе, равном 0.
  1. Ответ можно получить, выполнив относительно небольшое число вычислений.

Алгоритм решения

Исходная матрица имеет вид:

Нахождение обратной матрицы по правилу Гаусса необходимо выполнить в такой последовательности:

1. Записать матрицу, от которой необходимо выполнить преобразование в обратную. Рядом через вертикальную черту выполнить запись единичной диагональной матрицы аналогичного порядка:

2. Произвести поиск верхней треугольной матрицы по методу Гаусса. Это можно сделать двумя способами: разделить верхнюю строку на ее старший коэффициент или поменять верхнюю строку местами с той, где первый коэффициент равен 1. В данном примере поменяем верхнюю строку с нижней местами и получим:

3. Выполним умножение верхней строки матрицы на 3 и вычтем полученные произведения из нижней:

4. Данный шаг правила Гаусса именуют методом Жордана-Гаусса. В единичной диагонали, полученной в итоге предыдущих манипуляций, обнулим верхние правые элементы. Обнуление производится путем сложения верхней и удвоенной нижней строк:

Теперь выполним деление нижней строки на −1:

Инверсия исходной матрицы A, будет выглядеть так:

Решение задач методом Гаусса

Найти инверсию матрицы третьего порядка:

1. Запишем справа от A единичную диагональную матрицу:

Теперь необходимо выполнить преобразования, чтобы единичная диагональная матрица оказалась справа.

2. Первую и вторую строку поменяем местами:

3. Вторую строку суммируем с первой, умноженной на −2. Третью строку сложим с первой, умноженной на −3:

4. Вторую сложим с третьей строкой, умноженной на −1:

5. Выполним умножение второй строки на −1:

6. Первую строку сложим с рядом чисел, полученных при умножении второй строки на 5. К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на −14:

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector