Adelitusn.ru

ПК и Техника
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Как проводится перевод числа из десятичной системы в двоичную

Как проводится перевод числа из десятичной системы в двоичную?

Перевод из десятичной в двоичную систему исчисления проводится несложно. Для этого действия есть собственный специализированный алгоритм, который мы рассмотрим чуть ниже.

Перевод из десятичной в двоичную систему: целые числа

  1. Нужно последовательно делить десятичное число и получаемые частные на два, пока частное не приобретет значение «0» или не будет возможности его разделить. При этом операции проводятся только с целыми числами.
  2. Двоичное число будет состоять из остатков деления, записанных в обратном порядке.

Пример, как осуществляется перевод из десятичной в двоичную систему

  • 123 : 2 = 61 и остаток «1»;
  • 61 : 2 = 30 и остаток «1»;
  • 30 : 2 = 15 и остаток «0»;
  • 15 : 2 = 7 и остаток «1»;
  • 7 : 2 = 3 и остаток «1»;
  • 3 : 2 = 1 и остаток «1»;
  • 1 на 2 не делится целым числом, и именно с него и будет начинаться двоичное счисление.

Перевод из десятичной в двоичную систему: дробные числа

  1. Необходимо умножать исходное дробное число на два, пока его дробная часть не приравняется к нулевому значению или просто не будет достигнут нужный уровень погрешности исчисления.
  2. Двоичная дробь будет равняться прямой очередности значений целочисленной части наших вычислительных операций.

Здесь тоже не все может быть сразу понятно, но взглянув на пример, все сразу станет ясно.

Перевод из десятичной в двоичную систему

Пример, как осуществляется перевод дробного десятичного числа в двоичную систему

  • 0,234 * 2 = 0,468 — до дроби у нас 0;
  • 0,468 * 2 = 0,936 — до дробного знака у нас 0;
  • 0,936 * 2 = 1,872 — до дроби у нас 1;
  • 0,872 * 2 = 1,744 — до дроби у нас 1;
  • 0,744 * 2 = 1,488 — до дроби у нас 1;
  • 0,488 * 2 = 0,976 — до дробного знака у нас 0;
  • 0,976 * 2 = 1,952 — до дроби у нас 1;
  • 0,952 * 2 = 1,904 — до дроби у нас 1;
  • 0,904 * 2 = 1,808 — до дробного знака у нас 1;
  • 0,808 * 2 = 1,616 — до дроби у нас 1;
  • 0,616 * 2 = 1,232 — до дроби у нас 1;
  • 0,232 * 2 = 0,464 — до дробного знака у нас 0;
  • 0,464 * 2 = 0,928 — до дроби у нас 0;
  • и т. д.

Эту конвертацию можно осуществлять до того момента, пока мы не добьемся нужного уровня погрешности. Но для демонстрации алгоритма конвертации этого достаточно. В результате мы получили, что десятичное число 0,234 в двоичном исчислении будет равняться 0011101111100.

А как конвертировать дробное число, если у него в целой части будет какое-то другое значение, кроме 0? Например нам нужно конвертировать число 10,25. В этом случае целая и дробная части будут переводиться раздельно:

  • целая часть делением;
  • дробная часть умножением.

Вот что мы получим по факту:

  • 10 : 2 = 5 — остаток от деления 0;
  • 5 : 2 = 2 — остаток от деления 1;
  • 2 : 2 = 1 — остаток от деления 0;
  • 1 на 2 не делится, но идет в результат;
  • 0,25 * 2 = 0,5 — в целом числе 0;
  • 0,5 * 2 = 1 — в целом числе 1.

В конце наших вычислений мы получим, что десятичное число 10,25 в двоичной форме будет выглядеть вот так — 1010,01. Кстати, если внимательно посмотреть, то видно, что при конвертации в двоичную форму дробной части нашего примера (при умножении на 2), дробная часть стала равняться 0, поэтому вычисления закончились.

Перевод чисел в различные системы счисления с решением

Система счисления – это способ записи чисел. Обычно, числа записываются с помощью специальных знаков – цифр (хотя и не всегда). Если вы никогда не изучали данный вопрос, то, по крайней мере, вам должны быть известны две системы счисления – это арабская и римская. В первой используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и это позиционная система счисления. А во второй – I, V, X, L, C, D, M и это непозиционная система счисления.

В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, а в непозиционных – нет. Например:

11 – здесь первая единица обозначает десять, а вторая – 1.
II – здесь обе единицы обозначают единицу.

345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5, во втором – 50, а в третьем – 500.

XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.

Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, чем в непозиционных, т.к. математические операции осуществляются по несложным алгоритмам (например, умножение в столбик, сравнение двух чисел).

В мире наиболее распространены позиционные системы счисления. Помимо знакомой всем с детства десятичной (где используется десять цифр от 0 до 9), в технике широкое распространение нашли такие системы счисление как двоичная (используются цифры 0 и 1), восьмеричная и шестнадцатеричная.

Читайте так же:
Как посмотреть, кто сделал репост в Инстаграме

Следует отметить, важную роль нуля. «Открытие» этой цифры в истории человечества сыграло большую роль в формировании позиционных систем счисления.

Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр.

Разряд — это позиция цифры в числе. Разрядность числа — количество цифр, из которых состоит число (например, 264 — трехразрядное число, 00010101 — восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево (например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка — третий).

Итак, в позиционной системе счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий (движение справа на лево) разряд больше другого на степень основания системы счисления. (придумать схему)

Одно и тоже число (значение) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления используются всего две цифры 0 и 1. Другими словами, двойка является основанием двоичной системы счисления. (Аналогично у десятичной системы основание 10.)

Чтобы научиться понимать числа в двоичной системе счисления, сначала рассмотрим, как формируются числа в привычной для нас десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления мы располагаем десятью знаками-цифрами (от 0 до 9). Когда счет достигает 9, то вводится новый разряд (десятки), а единицы обнуляются и счет начинается снова. После 19 разряд десятков увеличивается на 1, а единицы снова обнуляются. И так далее. Когда десятки доходят до 9, то потом появляется третий разряд – сотни.

Двоичная система счисления аналогична десятичной за исключением того, что в формировании числа участвуют всего лишь две знака-цифры: 0 и 1. Как только разряд достигает своего предела (т.е. единицы), появляется новый разряд, а старый обнуляется.

Попробуем считать в двоичной системе:
0 – это ноль
1 – это один (и это предел разряда)
10 – это два
11 – это три (и это снова предел)
100 – это четыре
101 – пять
110 – шесть
111 – семь и т.д.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Не трудно заметить, что в двоичной системе счисления длины чисел с увеличением значения растут быстрыми темпами. Как определить, что значит вот это: 10001001? Непривычный к такой форме записи чисел человеческий мозг обычно не может понять сколько это. Неплохо бы уметь переводить двоичные числа в десятичные.

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

Можно пойти еще дальше и разложить так:

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Посмотрите на эту запись внимательно. Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 — это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы.

Аналогично можно разложить и любое двоичное число. Только основание здесь будет 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

Если посчитать сумму составляющих, то в итоге мы получим десятичное число, соответствующее 10001001:

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Т.е. число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10. Записать это можно так:

100010012 = 13710
Почему двоичная система счисления так распространена?

Дело в том, что двоичная система счисления – это язык вычислительной техники. Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе. Если это десятичная система, то придется создать такое устройство, которое может быть в десяти состояниях. Это сложно. Проще изготовить физический элемент, который может быть лишь в двух состояниях (например, есть ток или нет тока). Это одна из основных причин, почему двоичной системе счисления уделяется столько внимания.
Перевод десятичного числа в двоичное

Может потребоваться перевести десятичное число в двоичное. Один из способов – это деление на два и формирование двоичного числа из остатков. Например, нужно получить из числа 77 его двоичную запись:

77 / 2 = 38 (1 остаток)
38 / 2 = 19 (0 остаток)
19 / 2 = 9 (1 остаток)
9 / 2 = 4 (1 остаток)
4 / 2 = 2 (0 остаток)
2 / 2 = 1 (0 остаток)
1 / 2 = 0 (1 остаток)

Собираем остатки вместе, начиная с конца: 1001101. Это и есть число 77 в двоичном представлении. Проверим:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Восьмеричная система счисления

Итак, современное «железо понимает» лишь двоичную систему счисления. Однако человеку трудно воспринимать длинные записи нулей и единиц с одной стороны, а с другой – переводит числа из двоичной в десятичную систему и обратно, достаточно долго и трудоемко. В результате, часто программисты используют другие системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. И 8 и 16 являются степенями двойки, и преобразовывать двоичное число в них (так же как и выполнять обратную операцию) очень легко.

Читайте так же:
PDF24 Creator для Windows

В восьмеричной системе счисления используется восемь знаков-цифр (от 0 до 7). Каждой цифре соответствуют набор из трех цифр в двоичной системе счисления:

Для преобразования двоичного числа в восьмеричное достаточно разбить его на тройки и заменить их соответствующими им цифрами из восьмеричной системы счисления. Разбивать на тройки нужно начинать с конца, а недостающие цифры в начале заменить нулями. Например:

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

Т.е число 1011101 в двоичной системе счисления равно числу 135 в восьмеричной системе счисления. Или 10111012 = 1358.

Обратный перевод. Допустим, требуется перевести число 1008 (не заблуждайтесь! 100 в восьмеричной системе – это не 100 в десятичной) в двоичную систему счисления.

1008 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002

Перевод восьмеричного числа в десятичное можно осуществить по уже знакомой схеме:

6728 = 6 * 8 2 + 7 * 8 1 + 2 * 8 0 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 44210
1008 = 1 * 8 2 + 0 * 8 1 + 0 * 8 0 = 6410

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления, так же как и восьмеричная, широко используется в компьютерной науке из-за легкости перевода в нее двоичных чисел. При шестнадцатеричной записи числа получаются более компактными.

В шестнадцатеричной системе счисления используются цифры от 0 до 9 и шесть первых латинских букв – A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное, первое разбивается на группы по четыре разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не делится нацело, то первая четверка дописывается нулями впереди. Каждой четверке соответствует цифра шестнадцатеричной системе счисления:

Например:
10001100101 = 0100 1100 0101 = 4 C 5 = 4C5

Если потребуется, то число 4C5 можно перевести в десятичную систему счисления следующим образом (C следует заменить на соответствующее данному символу число в десятичной системе счисления – это 12):

4C5 = 4 * 162 + 12 * 161 + 5 * 160 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

Максимальное двухразрядное число, которое можно получить с помощью шестнадцатеричной записи — это FF.

FF = 15 * 161 + 15 * 160 = 240 + 15 = 255

255 – это максимальное значение одного байта, равного 8 битам: 1111 1111 = FF. Поэтому с помощью шестнадцатеричной системы счисления очень удобно кратко (с помощью двух цифр-знаков) записывать значения байтов. Внимание! Состояний у 8-ми битного байта может быть 256, однако максимальное значение – 255. Не забывайте про 0 – это как раз 256-е состояние

15. Системы счисления. Правила перевода чисел.

koralexand.ru > 15. Системы счисления. Правила перевода чисел.

  1. Определение системы счисления, типы систем счисления.

Система счисления – это совокупность приёмов и правил изображения чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

Непозиционная система счисления – это система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления может служить римская система счисления, в которой цифры обозначаются различными знаками: Ⅰ – 1, Ⅲ – 3, Ⅵ – 6, L – 50 …

Основным недостатком такой системы является большое число различных знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Позиционная система счисления – это система, в которой значение символа зависит от его места (позиции) в ряду цифр, изображающих число. Например, в числе 548 первая цифра означает количество сотен, вторая – десятков, третья – единиц. Позиционные системы счисления более удобны для вычислительных операций, поэтому они получили наибольшее распространение.

Позиционные системы счисления характеризуются основанием. Основание (или базис) позиционной системы счисления – это количество знаков или символов, используемых для изображения числа в разрядах данной системы счисления.

Для записи чисел в конкретной системе счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий и цифр: a1, a2, ,…,an. При этом каждой цифре a1 в записи числа ставится в соответствие определённый количественный эквивалент: «вес» — S 1 .

Любое число N в позиционной системе счисления можно представить суммой произведений целых однозначных коэффициентов a1, взятых из алфавита системы, на последовательные целые степени основания S:

Сокращенная запись числа NS имеет вид:

При этой позиции цифр a1 в этой записи называются разрядами. Старшие разряды, соответствующие более высоким степеням основания S, располагаются слева, а младшие – справа. Цифры a1 в любом i-ом разряде могут принимать S различных значений, при этом всегда ai<S.

В ЭВМ приняты десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления.

Десятичная система счисления – основание S=10. Набор цифр этой системы 0, 1, 2, …, 9. Любое целое число в десятичной системе счисления записывается как сумма величин: 10 0 , 10 1 , 10 2 , …, каждая из которых может быть взята от 1 до 9 раз. Например, число 8765.31 представляет собой сокращенную запись выражения:

Читайте так же:
Бесплатные фоторедакторы для компьютера

Для физического представления чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию принятой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной системы счисления.

Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются, так называемые, двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний. Например, реле – замкнуто или разомкнуто, транзистор – заперт или открыт. Одно из этих устойчивых состояний может представлять цифру 0 или – 1. Простота технической реализации двухпозиционных элементов обеспечило наибольшее распространение в ЭВМ двоичной системы.

Двоичная система счисления – основание S=2. Для записи числа используются две цифры: 0 и 1. При этом каждый старший разряд больше соседнего младшего в два раза. Любое число в двоичной системе счисления представляется в виде суммы целых степеней основания S=2, умноженных на соответствующие коэффициенты (0 или 1). Например, двоичное число

Кроме двоичной системы счисления, в ЭВМ используется восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Основания этих систем соответствуют целым степеням числа 2 (8=2 3 , 16=2 4 ), поэтому для них исключительно просты правила перевода в двоичную систему и наоборот.

Восьмеричная система счисления – основание S=8. Используются цифры: 0, 1, 2, …, 7. Любое число представляется суммой целых степеней основания S=8, умноженных на соответствующие коэффициенты ai=0, …, 7. Например,

Шестнадцатеричная система счисления – основание S=16. Алфавит цифровых знаков состоит из 16-ти символов: первые десять – арабские цифры от 0 до 9 и дополнительные – A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Например,

В табл. 1 представлена запись чисел от 0 до 16 в двоичной, восьмеричной, и шестнадцатеричной системах счисления.

Таблица 1.

десятичнаядвоичнаявосьмеричнаяшестнадцатеричная
0000
1000111
2001022
3001133
4010044
5010155
6011066
7011177
81000108
91001119
10101012A
11101113B
12110014C
13110115D
14111016E
15111117F
16100002010

В некоторых ЭВМ ввод и вывод информации осуществляется в смешанных (двоично-кодированных) системах счисления, имеющих основание S>2, в которых каждая цифра числа представляется в двоичной системе. Наибольшее применение в ЭВМ получили восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная двоично-кодированные системы счисления.

Двоично-восьмеричная система счисления. В этой системе каждая восьмеричная цифра представляется трехзначным двоичным числом – триадой. Например, = 001 011 111, 100 101 2-8.

Двоично-десятичная система счисления. В этой системе каждая десятичная цифра представляет четырёхзначным двоичным числом – тетрадой. Например,

273,5910= 0010 0111 0011, 0101 1001 2-10.­

Двоично-шестнадцатеричная система счисления. В этой системе (как и в двоично-десятичной) каждая шестнадцатеричная цифра представляется четырехзначным двоичным числом (тетрадой). Например,

При работе со смешанными системами счисления справедливо следующее утверждение: если P=S k (где P,S – основания систем, k – положительные целые числа), то запись любого числа в смешанной S-P системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием S с точностью до нулей в начале записи целой части числа и в конце дробной.

Согласно этому утверждению, если P=8, S=2, k=3, то запись любого числа в двоично-восьмеричной системе совпадает с записью этого же числа в двоичной системе. Например: число 688 в двоично-восьмеричной системе будет 628=110 010 2-8; 6 2

это же число в десятичной системе будет ; если теперь число 5010 представить в двоичной системе, получим 5010=110 0102.

Таким образом, двоичная и двоично-восьмеричная запись одного итого же числа (628) совпадает.

Сказанное справедливо и для записи любого числа в двоичной и двоично-шестнадцатеричной системах, P=16, S=2, k=4.

Однако, записи числа в двоичной и двоично-десятичной системах не совпадают. Для P=10 и S=2 нет такого целого числа k, чтобы выполнялось равенство 10=2 k .

  1. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Если число X из системы счисления с основанием s необходимо перевести в систему счисления с основанием p, перевод осуществляется по следующим правилам:

Правило 1.

При равенстве p=s k , где k – целое положительное число (например, p=8=2 3 , k=3, s=2), в этом случае:

  • при переводе числа из двоичной системы счисления в восьмеричную, начиная с запятой в левую сторону для целой части и в правую – для дробной части, число разбивается по триадам и каждая триада заменяется восьмеричной цифрой;
  • при переводе числа из восьмеричной системы счисления в двоичную каждая цифра записывается как двоичная по триадам;
  • при переводе числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, число разбивается по тетрадам и каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой (P=16=2 4 , k=4, s=2);
  • при сохранении числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную каждая цифра записывается как двоичная по тетрадам.
  1. 011 011 011, 101 110 2 = 333,568 ;
  1. 167,568 = 001 110 111, 101 110 2 ;
  1. 0011 1011 0100, 1111 1010 2 = 3B4,FA16 ;
  1. A29,CF16 = 1010 0010 1001, 1100 1111 2.
Читайте так же:
Бесплатные графические программы

Правило2.

При не выполнении равенства p=s k (где k – целое положительное число), в этом случае:

  • Целая часть числа делится на новое основание p; полученный от деления первый остаток является младшей цифрой целой части числа с основанием p; затем полученное число снова делится на основание p, в результате определяется второй остаток, соответствующий следующей после младшей цифре числа с основанием p; деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше делителя; последнее частное даёт старшую цифру числа с основанием p. Например,
  1. Перевести число 2610 в двоичную систему счисления:
  1. Перевести число 19110 в восьмеричную систему счисления:
  • Дробная часть числа умножается на новое основание p, при этом целая часть полученного произведения является старшей цифрой дробной части числа с основанием p; затем дробная часть произведения снова умножается на основание p; полученная часть произведения будет второй искомой цифрой; снова дробная часть умножается на основание p и т. д.

Например, число 0,3110 перевести в двоичную систему счисления:

Число цифр в числе, представленном в системе счисления с основанием p, определяется из условия, что точность числа в этой системе счисления должна соответствовать точности числа в системе счисления с основанием s.

В смешанных числах целая и дробная часть переводиться отдельно.

При переводе чисел в 10-тичную систему счисления пользуются разложением числа по степеням оснований системы счисления.

Перевод систем счисления

В решении определенного класса задач иногда удобно записывать числовые значения в разных системах счисления. Разработан ряд унифицированных правил перевода чисел между системами. О том, как выполняется перевод систем счисления, рассказано в статье.

Что такое перевод систем счисления

Основанием системы счисления является величина, определяющая количество символов для записи числового значения. Например, основанием двоичной системы является число 2, пятеричной, соответственно – 5.

Таблица: основание и алфавит различных систем счисления

Рис. 1. Таблица: основание и алфавит различных систем счисления.

Число 15 в десятичной системе при переводе в пятеричную равно 30, а в восьмеричной будет равно 17. Шестнадцатеричный эквивалент пятнадцати представляет собой букву F. Как так получается?

Рис. 2. Таблица соответствия десятичных и шестнадцатеричных чисел.

Перевод чисел с участием десятичной системы счисления

В преобразовании чисел с участием десятичной системы приняты три строгих правила перевода.

1. Пересчет числового значения из десятичного формата в эквивалент другой системы счисления заключается в делении целой части и полученных частных, на величину основания будущей системы счисления. При этом остатки от деления записываются начиная с последнего.

Например, 15 из десятичной системы в восьмеричную переводится так: 15 / 8 = 1 (в остатке 7). Записываем итог, начиная с конечного и в данном случае единственного частного, и затем остаток. Получим 17.

Еще один пример: десятичное 125 в восьмеричной системе: 125 / 8 = 15 (5). Полученное частное больше, чем основание 8.

Продолжаем делить: 15 / 8 = 1 (7). Ответ записывается с последнего частного, а затем остатки от деления: 175.

Следует запомнить, что запись результата всегда начинает с последнего частного и остатков от деления в обратном порядке.

2. Преобразование части десятичного числа, записанной после запятой, выполняется с помощью обратной процедуры, то есть умножения, вычисляя одно за другим произведения дробных частей на основание будущей системы счисления и записывая последовательно цифры, полученные в целой части. Например, дробная часть числа 0,134 в двоичную систему переводится так (удобнее это делать столбиком):

0,134 * 2 = 0,268 (в целой части 0)

0,268 * 2 = 0,536 (0)

0,536 * 2 = 1,072 (слева от запятой 1)

0,072 * 2 = 0,144 (в целой части 0)

0,144 * 2 = 0,288 (0)

Произведения вычисляют до тех пор, пока не будет обеспечена заданная точность или в остатке не получится ноль.

Ответ: десятичное 0,134 в двоичной системе равно 0,00100.

При умножении следует брать только остатки, не учитывая полученную цифру в целой части.

3. Перевод чисел из разных систем счисления в десятичную удобнее всего представлять с помощью развернутой записи числа, или при использовании формулы полинома, который формируется путем сложения одночленов, возведенных в степень и умноженных на некоторые коэффициенты:

a1 * x^(n-1) + a2 * x^(n-2) + a3 * x^(n-3) + …+an * x^0

Например, 137 = 1 * 10^2 + 3 * 10^1 + 7 * 10^0.

Рассмотрим примеры перевода чисел:

2 →10: 11011 = 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 27

8 →10: 134 = 1 * 8^2 + 3 * 8^1 + 4 * 8^0 = 92

16 → 10: 1AF = 1 * 16^2 + 10 * 16^1 + 15 * 16^0 = 431

Читайте так же:
Как установить Linux на VirtualBox?

Перевод чисел в системах счислении, построенных на бинарном основании

Восьмеричная и шестнадцатеричные системы счисления построены на бинарном базисе. Основанием восьмеричной системы является число 8, то есть 2^3, а основание шестнадцатеричной системы 16 = 2^4. Перевод между этими системами и двоичной системой удобнее всего выполнять с помощью таблицы перевода систем счисления:

Рис. 3. Таблица соответствия чисел в 2-, 8- и 16-й системах счисления.

Каждое восьмеричное число представляется триадой (тремя элементами) двоичных знаков, каждое шестнадцатеричное – двоичной тетрадой (четыре элемента).

Например, 8 → 2: 134 ⇔ 001011100

16 → 2: 8F ⇔ 10001111

2 → 8: 110101 ⇔ 65

2 → 16: 11011000 ⇔ D8

Что мы узнали?

Переход между различными системами счисления выполняется по строго определенным правилам. Десятичные числа преобразуются в другие системы путем последовательного деления целой части и умножения дробной, обратный перевод выполняется с помощью полинома. Перевод между 2-, 8- и 16-ми системами выполняется по таблице.

Перевод чисел в различные системы счисления с решением

&nbsp &nbsp В восьмеричной системе счисления основание равно 8, алфавит составляют цифры от 0 до 7, базисом является последовательность 1, 8, 8 2 , 8 3 , 8 4 …, т.е., каждая последующая цифра в 8 раз больше предыдущей. В развернутой форме восьмеричное число записывается так: 345 8 =5*8 0 +4*8 1 +3*8 2
&nbsp &nbsp Натуральный ряд чисел в восьмеричной системе счисления: 1..7,10, 11..77, 100…
&nbsp &nbsp Таким образом, справедливо, что 8 10 =10 8 .
&nbsp &nbsp В троичной системе счисления основание равно 3, алфавит составляют цифры 0,1,2, базисом являются числа 1, 3, 3 2 , 3 3 , 3 4 …,т.е., единица каждого разряда в 3 раза больше предыдущей. В развернутой форме троичное число записывается так: 120=0*3 0 +2*3 1 +1*3 2 . Натуральный ряд чисел в троичной системе счисления: 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100… Сравнивая десятичный и троичный рады натуральных чисел, получаем, что 3 10 =10 3 .
&nbsp &nbsp Двоичная система счисления имеет алфавит , состоящий из цифр 0 и 1, основание , равное двум, базисную последовательность 1, 2, 2 2 , 2 3 ,2 4 ,… Развернутая запись числа 10110 2 =0*2 0 +1*2 1 +1*2 2 +1*2 3 +1*2 4 . Натуральный ряд чисел: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111… Таким образом, 2 10 =10 2 .
&nbsp &nbsp В шестнадцатеричной системе счисления в алфавите , кроме цифр 0..9, используются заглавные буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F, которые обозначают цифры 10, 11, 12, 13, 14, 15. Основание шестнадцатеричной системы счисления равно 16, базис составляют степени числа 16. Развернутая форма записи шестнадцатеричного числа 3А5 16 =5*16 0 +10*16 1 +3*16 2 . Натуральный ряд чисел 1..9, А..F, 10, 11, 12… Значит, 16 10 =10 16 .

&nbsp &nbsp Т.о., позиционная система счисления с основанием P характеризуется тем, что с помощью ограниченного набора цифр можно записать сколь угодно большое и сколь угодно малое число в виде суммы произведений цифр на положительные и отрицательные степени числа Р.
&nbsp &nbsp В общем виде это можно записать так: a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 ,b 1 b 2 …b k =a n *p n +a n-1 *p n-1 +…+a 1 *p 1 +a 0 *p 0 +b 1 *p -1 +b 2 *p -2 +…+b k *p -k
&nbsp &nbsp где р — основание системы счисления, а i ,b i – цифры р-ичного числа.

Правила перевода чисел в десятичную систему счисления

Для перевода числа, записанного в системе счисления с основанием Р, в десятичную, нужно записать это число в развернутом виде, т.е. каждую цифру умножить не ее вес и вычислить сумму полученных произведений. Весом цифры называется соответствующая степень основания системы счисления.

Полученный алгоритм можно переформулировать следующим образом:

Перевод чисел из десятичной системы счисления

&nbsp &nbsp Получили, что для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием Р нужно разложить это число на слагаемые, содержащие максимальную степень числа Р и выписать коэффициенты (множители) при этих степенях. Вместо отсутствующей степени нужно записать 0.
&nbsp &nbsp

  • Дробная часть не окажется равной нулю;
  • Не будет выделен период в случае бесконечной периодической дроби;
  • Не будет получено нужное количество знаков после запятой (не будет достигнута необходимая точность) в случае бесконечной непериодической дроби.

&nbsp &nbsp Переведем правильную десятичную дробь 0,875 в двоичную систему счисления: Процесс умножения закончен, т.к. получена нулевая дробная часть. Последовательность целых частей, выписанных в порядке получения, является дробной частью числа в двоичной системе счисления. Целая часть двоичной дроби равна нулю. Итак, 0,875 10 =0,111 2 . Убедитесь в этом, выполнив обратный перевод.
&nbsp &nbsp Для смешанных чисел целая и дробная части переводятся отдельно по своим алгоритмам, полученные результаты складываются.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector