Adelitusn.ru

ПК и Техника
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Примеры решений типовых задач по оценке радиационной обстановки после ядерного взрыва

Примеры решений типовых задач по оценке радиационной обстановки после ядерного взрыва

Теперь разберем конкретные примеры решения задач на данную методику.

Пример. В 11 ч 20 мин уровень радиации на территории объекта составлял 5,3 Р/ч. Определить уровень радиации на 1 ч после взрыва, если ядерный удар нанесен в 8 ч 20 мин.

Решение 1. Определяем разность между временем замера уровня радиации и временем ядерного взрыва. Оно равно 3 ч.

  • 2. По табл. 1 коэффициент для пересчета уровней радиации через 3 ч после взрыва Кз= 0,267.
  • 3. Определяем по формуле Pt=PoKt уровень радиации на 1 ч после ядерного взрыва Р1=Рз/Кз=5.З/0.267=19.8 Р/ч, так как Kt на 1 ч после взрыва К1==1, на З ч — Кз=0,267.

Не установленное разведкой время взрыва можно определить по скорости спада уровня радиации. Для этого в какой-либо точке на территории объекта измеряют дважды уровень радиации. По результатам двух измерений уровней радиации через определенный интервал времени, используя зависимость Pt=PoKt, можно рассчитать время, прошедшее после взрыва.

По этим данным составляют таблицы, по которым определяют время, прошедшее после взрыва до первого или второго измерения (по табл. 12 в [2], стр. 69).

Пример. В районе нахождения разведывательного звена были измерены уровни радиации в 10 ч 30 мин Pi =50 Р/ч, в 11 ч 30 мин Р2=30 Р/ч. Определить время взрыва.

  • 1. Интервал между измерениями 1 ч.
  • 2. Для отношений уровней радиации P2/P1= 30/50 ==0,6 и интервала времени 60 мин по табл. 12 ([2], стр. 69)находим время с момента взрыва до второго измерения. Оно равно 3 ч. Взрыв, следовательно, был осуществлен в 8 ч 30 мин.

Пример. Рабочие прибыли из укрытия в цех, расположенный в одноэтажном производственном здании, через 2 ч после взрыва. Уровень радиации на территории объекта через 1 ч после взрыва составлял P1 =200 Р/ч. Определить экспозиционную дозу излучения, которую получат рабочие в цехе, если работа продолжается 4 ч.

Решение. 1. По формуле Pt=PoKt и табл. 1 определяем уровень радиации через 2 и 6 ч после взрыва (в начале и конце работы).

Р2=Р1 х К2=200 х 0,435=87 Р/ч; Р6 = 200 х 0,116= 23,6 Р/ч.

  • 2. По формуле (13 в учебнике [2], стр. 69) вычисляем экспозиционную дозу излучения на открытой местности (Косл==1), полученную за время пребывания от 2 до 6 ч после взрыва, D = 174 Р.
  • 3. Для определения экспозиционной дозы, которую получат рабочие за 4 ч пребывания в одноэтажном производственном здании, необходимо найденную экспозиционную дозу для открытой местности разделить на коэффициент ослабления радиации Kосл=7, D =24,8 Р.

Пример. На территории объекта уровень радиации через 1 ч после взрыва P1==135 Р/ч. Определить время начала проведения спасательных и неотложных аварийно-восстановительных работ (СНАВР), количество смен и продолжительность работы каждой смены, если известно, что первая смена должна работать не менее Т=2 ч, а на проведение всех работ потребуется 12 ч. Экспозиционная доза излучения на первые сутки установлена Дзад = 50 Р.

Решение. 1. Вычисляем среднее значение уровня радиации на время проведения работ; оно равно Рср= ==Дзад/Г==50/2==25 Р/ч.

  • 2. Определяем Kcp х Pcp-Ki/Pi^ =25.1/135=0,187.
  • 3. По табл. 1 находим tcp==4: ч.
  • 4. Время начала работ Тн==Тср — Т/2 =3ч.
  • 5. Уровни радиации на начало (/н==3 ч) и окончание (^к==15 ч) проведения СНАВР равны Рз= 135-0,267= ==36 Р/ч; Pi5=135.0,039 =5,3 Р/ч.
  • 6. Суммарную экспозиционную дозу излучения находим D = 5х36х3 — 5х5,3х15 = 142,5 Р.
  • 7. При заданной экспозиционной дозе излучения 50 Р потребуется 3 смены. *

Первая смена проводит работы в течение 2ч (с 3 до 5 ч после взрыва).

Вторая смена начинает работы через 5 ч после взрыва при уровне радиации P5= 135х0,145 ==19,6 Р/ч. По табл. 15 [2] для времени начала работы 5 ч и отношения Dзад/P5 =50/19,6 = 2,5 находим продолжительность работы второй смены 7=3 ч 28 мин.

Третья смена начинает работу через 8 ч 30 мин при уровне радиации P8,5= 10,3 Р/ч, и оканчивает через 15 ч после взрыва при уровне радиации P15 ==5,3 Р/ч. За это время личный состав смены получит экспозиционную дозу излучения D = 5 х 10,З х 8,5 — 5х5,3х15=40Р.

Определение режимов защиты рабочих, служащих и производственной деятельности объекта .Под режимом защиты понимается порядок применения средств и способов защиты людей, предусматривающий максимальное уменьшение возможных экспозиционных доз излучения и наиболее целесообразные их действия в зоне радиоактивного заражения.

Режимы защиты для различных уровней радиации и условий производственной деятельности, пользуясь расчетными формулами, определяют в мирное время, т. е. до радиоактивного заражения территории объекта.

В табл. 16 [2] приведены варианты режимов производственной деятельности для объектов, имеющих защитные сооружения с коэффициентами ослабления радиации К1==25—50 и К2=1000 и более. Режимы защиты разработаны с учетом односменной или двухсменной работы рабочих и служащих продолжительностью 10—12 ч в сутки в производственных зданиях (Косл=7) и проживания в каменных домах (Косл==10).

Определение допустимого времени начала преодоления зон (участков) радиоактивного заражения производится на основании данных радиационной разведки по уровням радиации на маршруте движения и заданной экспозиционной дозе излучения.

Пример. Разведгруппе ГО предстоит преодолеть зараженный участок ме-стности. Известно, что уровни радиации на 1 ч после взрыва на маршруте движения составили: в точке № 1—40 Р/ч, № 2 — 90 Р/ч, № 3—160 Р/ч, № 4—100 Р/ч, № 5—50 Р/ч.

Определить допустимое время начала преодоления зараженного участка при условии, что экспозиционная доза излучения за время преодоления не превысит 6 Р. Преодоление участка будет осуществляться на автомашине (Kосл==2) со скоростью 30 км/ч, длина маршрута 15 км.

  • 1. Определяем средний уровень радиации
  • 2. При продолжительности движения через зараженный участок в течение Г==0,5 ч (15/30) личный состав разведгруппы получит экспозиционную дозу излучения
Читайте так же:
Как изменить файл hosts в Windows 10

D = Рср-Т/Косл == 88х0,5/2 = 22Р.

3. Коэффициент для пересчета уровней радиации пропорционален изменению уровня радиации во времени после взрыва, а следовательно, и изменению экспозиционной дозы излучения. Поэтому личный состав разведгруппы получит экспозиционную дозу излучения 6Р, когда Kt==6/22=0,27.

Коэффициенту Kt=0,27 (табл. 1) соответствует время, прошедшее после взрыва — З ч. Таким образом, личный состав разведгруппы может преодолевать зараженный участок через 3 ч после взрыва. Это время с момента взрыва до пересечения формированием середины участка заражения. Весь путь займет 0,5 ч (15/30). Следовательно, формирование пройдет весь участок заражения за время после взрыва от 2 ч 45 мин до 3 ч 15 мин.

Примеры решения типовых задач

При просматривании классических учебников Пчёлко и Поляка по арифметике, их внешней простоты и системности многим людям, привыкшим к пестроте и фрагментарности современных учебников математики, не хватает в них нестандартных, так называемых логических задач. Мы не раз слышали это обвинение… Попробуем ответить на него.

В классической методике обучения арифметике самое ценное — система постепенно усложняющихся типовых задач, где их сложность нарастает постепенно, но неуклонно: сначала однотипные постепенно усложняющиеся задачи, затем новый тип изученных задач даётся вперемешку с ранее изученными типами, чтобы у ребёнка не возникало шаблонности мышления. Такая система даёт возможность ученикам в 6 классе решать ОЧЕНЬ сложные задачи, но при этом чувствовать себя уверенными в своих силах (так как они пришли сюда очень постепенно, как по лесенке взошли). Пример такой задачи в 17 действий приводит Е. М. Нифонтова в конце своего доклада.

Если же ребёнка обучать математике только на логических задачах, которые не систематизированы, то это бесперспективно. Объясним почему: в логической задаче всегда присутствует фактор полной неожиданности, ребёнок к ней не подготовлен предыдущей системной работой, он каждый раз чувствует себя неуверенно, в каждой задаче — подвох. Это рождает ощущение беспомощности.

Однако это не означает, что от таких задач нужно совсем отказаться. В нашем курсе таких нетиповых, так называемых занимательных задачек много в третьем и четвёртом классах. Они находятся не в учебнике, а в поурочных планах на устном счёте. Мы использовали два замечательных пособия, которые размещены у нас на сайте в разделе «Библиотека», — «Занимательные задачи» Г. Б. Поляка и «Внеклассная работа по арифметике в начальной школе» В. А. Игнатьева.

Из них мы выбирали те задачки, которые, как нам казалось, наиболее интересны и в то же время посильны для детей. Эти пособия использовались учителями в советское время для внеклассной работы, для математических кружков. Очень рекомендуем всем!

3940

Повторим, что в наших поурочных планах много занимательных задач из этих пособий. Приведём несколько примеров ниже.

Урок № 150. Занимательная задача «Бой часов»:

Настя сидела за уроками 3 часа и каждый раз прислушивалась к бою стенных часов, считая количество ударов. Часы били каждый час, и Настя насчитала всего 18 ударов. С какого часа по какой она сидела за уроками?

Урок № 155. Занимательная задача «Лакомки»:

Мама купила конфеты и положила их в шкаф. Тима пришёл из школы, увидел в шкафу конфеты и съел половину их. Кира пришла второй из школы и, найдя конфеты в шкафу, съела половину остатка. Давид пришёл из школы третьим и съел половину конфет, которые остались после Киры. Когда мама взяла вечером пакет с конфетами, то в нём оказалась всего 1 конфета. Сколько конфет купила мама?

Урок № 166. Занимательная задача «Сколько лет дедушке?»:

Внук спросил дедушку: «Сколько тебе лет?» Дедушка ответил: «Если проживу ещё половину того, что я прожил, да ещё 1 год, то мне будет 100 лет». Сколько лет дедушке?

Урок № 184. Найдите, какие цифры стёрты:

50

Урок № 187. Занимательная задача:

Настенные часы забегают вперёд на 20 секунд в час. В полдень 1 января 2012 года их стрелки установили верно. Через какое время часы снова покажут правильное время?

Урок № 193. Угадывание чисел:

— Задумайте число, которое делится без остатка на 6. Сложите теперь половину этого числа с одной третьей и одной шестой частями. Что у вас получилось?

— У вас получилось задуманное число. Почему это так?

При этом после каждой задачи учителю даётся подсказка, как лучше направить ребёнка к решению в случае затруднения таким образом, чтобы не решить за него, а только натолкнуть мысль на верный путь, — смотрите ниже.

Урок № 150. Занимательная задача «Бой часов»:

Настя сидела за уроками 3 часа и каждый раз прислушивалась к бою стенных часов, считая количество ударов. Часы били каждый час, и Настя насчитала всего 18 ударов. С какого часа по какой она сидела за уроками?

— Кто из вас слышал бой часов? Как можно, не глядя на часы, а только слушая их, узнать, который час?

Рассуждение при решении задачи: часы били 3 раза по несколько ударов. Очевидно, что во второй раз они ударили на 1 удар больше, чем в первый; а в третий раз на 2 удара больше, чем в первый. Если не принимать во внимание 3 эти удара, то в остальном часы били каждый раз одинаковое количество ударов (с этого момента большинство детей смогут решить задачу):

Читайте так же:
Не запускается служба сведений о подключенных сетях

1) 18 уд. – 3 уд. = 15 уд.

2) 15 уд. : 3 уд. = 5 уд. — пробили часы в первый раз.

— Значит, Настя сидела за уроками с пяти до восьми часов. Когда она села, часы пробили 5 ударов, через час — 6 ударов, ещё через час — 7 ударов; а к тому времени, как часы собирались пробить 8 ударов, она уже сделала все уроки.

Урок № 155. Занимательная задача «Лакомки»:

Мама купила конфеты и положила их в шкаф. Тима пришёл из школы, увидел в шкафу конфеты и съел половину их. Кира пришла второй из школы и, найдя конфеты в шкафу, съела половину остатка. Давид пришёл из школы третьим и съел половину конфет, которые остались после Киры. Когда мама взяла вечером пакет с конфетами, то в нём оказалась всего 1 конфета. Сколько конфет купила мама?

Задача решается с конца: 1 оставшаяся конфета — это половина того, что съел Давид. Значит, он съел 1 конфету, а всего в шкафу, когда он пришёл, лежало 2 конфеты. Две конфеты — это половинка того, что съела Кира. Значит, когда она пришла к шкафу, там лежало 4 конфеты. Четыре конфеты — это половинка того, что съел Тима, значит, изначально в пакете было 8 конфет.

Урок № 166. Занимательная задача «Сколько лет дедушке?»:

Внук спросил дедушку: «Сколько тебе лет?» Дедушка ответил: «Если проживу ещё половину того, что я прожил, да ещё 1 год, то мне будет 100 лет». Сколько лет дедушке?

В случае затруднения предложить детям следующую схему:

41

— Дедушка прожил вот столько (учитель чертит первый отрезок), если он проживёт ещё половину этого (делит его пополам и добавляет отрезок, равный половине первого) да ещё 1 год (добавляет маленький отрезок), то дедушке будет 100 лет.

Урок № 184. Найдите, какие цифры стёрты:

50

В случае затруднения учитель помогает наводящими вопросами:

— В примере не известны ни делимое целиком, ни делитель, ни частное. Можем ли мы подобрать хоть одну цифру вместо звёздочек в этих числах? (Нет.) А посмотрите на остаток в примере. Чему он равен? (Нулю.) От какого-то числа вычли 504 и получили 0. Чему равно это число? (504.) Впишите эти цифры:

51

— Из числа 1 058 вычли какое-то число и получили 50, да ещё списали 4. Можем найти это число? Найдите и впишите цифры:

52

— Можем ли мы теперь найти последние 2 цифры делимого? (Можем, это 8 и 4):

53

— Попытаемся восстановить оставшиеся цифры делимого и числа, которое из него вычитается. От какого числа нужно отнять 8, чтобы осталось 5? (От 13) Какую цифру впишем над 8? (3):

54

Урок № 187. Занимательная задача:

Настенные часы забегают вперёд на 20 секунд в час. В полдень 1 января 2012 года их стрелки установили верно. Через какое время часы снова покажут правильное время?

В случае затруднения учитель помогает наводящими вопросами:

— Посмотрите на циферблат наших часов (они должны быть с секундной стрелкой) и скажите, на сколько уйдут часы вперёд через 3 часа, если за час они убегают на 20 секунд? (На 1 минуту.) Значит, можно сказать так: погрешность часов за 3 часа составит 1 минуту. За какое время накопится погрешность в 3 минуты? (За 9 часов, так как 3 час. × 3 = 9 час.) За какое время убегут часы на 1 час вперёд? (За 180 часов, так как 3 час. × 60 = 180 час.)

— Часы будут всё убегать и убегать. Посмотрите на часы и подумайте, какой должна стать погрешность часов, на сколько они должны забежать вперёд, чтобы показания стрелок снова совпали с реальным временем? (На 12 часов.) Значит, для того чтобы узнать, когда же часы снова покажут правильное время, нужно высчитать, за какой промежуток времени накопится погрешность в 12 часов. (180 часов × 12 = 2 160 часов.)

Дети производят вычисления, переводят часы в сутки (2 160 часов : 24 часа = 90 суток), затем задача решается, как обычная задача на вычисление времени окончания события. Важным моментом в задаче является то, что 2012 год был годом високосным, то есть в феврале было 29 дней. Следовательно, если отсчитать 90 суток от полудня 1 января, то искомое событие приходится на полдень 1 апреля.

Урок № 193. Угадывание чисел:

— Задумайте число, которое делится без остатка на 6. Сложите теперь половину этого числа с одной третьей и одной шестой частями. Что у вас получилось?

— У вас получилось задуманное число. Почему это так?

От сложения половины с третьей и шестой частью единицы всегда получается единица. Поэтому когда мы складываем вместе половину задуманного числа, третью и шестую часть его, мы получаем в сумме задуманное число.

Итак, наше преимущество в том, что у нас есть и система (!), и иногда фактор неожиданности, который не пугает ребёнка, а повышает интерес.

Обратите внимание на то, что мы не даём нестандартные задачи в первых двух классах — ждём, пока дети обретут первые вычислительные навыки, войдут в системную логику курса. В 3 и 4 классах мы не даём нестандартные задачи одновременно с новой темой, так как это отвлечёт силы ребёнка от главного. Занимательные задачи всегда появляются на уроках закрепления изученного материала, когда основная часть урока понятна и легка. Они освежают и бодрят ум.

Читайте так же:
Lenovo G500 Скачать драйверы

Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений

После изучения азов нахождения производной в статьях Как найти производную? Примеры решений и Производная сложной функции мы рассмотрим типовые задачи, связанные с нахождением производной. Желающие улучшить свои навыки дифференцирования также могут ознакомиться с уроком Сложные производные. Логарифмическая производная.

Помимо нового материала у вас есть возможность дополнительно «набить руку» на нахождении производных. Действительно, если речь пойдет о типовых задачах на производную, то, как минимум, во всех примерах нужно будет найти эту самую производную. Я постараюсь рассмотреть приёмы решения и хитрости, которые не встречались в других статьях.

Вот наше аппетитное меню:

  • Производная функции в точке

Повар на раздаче.

Производная функции в точке

Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:

1) Необходимо найти производную.

2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.

Вычислить производную функции в точке

Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны:

В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».

Сначала находим производную:

Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.

На втором шаге вычислим значение производной в точке :

Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения:

Вычислить производную функции в точке

Полное решение и ответ в конце урока.

Необходимость находить производную в точке возникает в следующих задачах: построение касательной к графику функции (следующий параграф), исследование функции на экстремум, исследование функции на перегиб графика, полное исследование функции и др.

Но рассматриваемое задание встречается в контрольных работах и само по себе. И, как правило, в таких случаях функцию дают достаточно сложную. В этой связи рассмотрим еще два примера.

Вычислить производную функции в точке .
Сначала найдем производную:

Производная, в принципе, найдена, и можно подставлять требуемое значение . Но что-то делать это не сильно хочется. Выражение очень длинное, да и значение «икс» у нас дробное. Поэтому стараемся максимально упростить нашу производную. В данном случае попробуем привести к общему знаменателю три последних слагаемых:

Ну вот, совсем другое дело. Вычислим значение производной в точке :

В том случае, если Вам не понятно, как найдена производная, вернитесь к первым двум урокам темы. Если возникли трудности (недопонимание) с арктангенсом и его значениями, обязательно изучите методический материал Графики и свойства элементарных функций – самый последний параграф. Потому что арктангенсов на студенческий век ещё хватит.

Вычислить производную функции в точке .

Это пример для самостоятельного решения.

Уравнение касательной к графику функции

Чтобы закрепить предыдущий параграф, рассмотрим задачу нахождения касательной к графику функции в данной точке. Это задание встречалось нам в школе, и оно же встречается в курсе высшей математики.

Рассмотрим «демонстрационный» простейший пример.

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Я сразу приведу готовое графическое решение задачи (на практике этого делать в большинстве случаев не надо):

Строгое определение касательной даётся с помощью определения производной функции, но пока мы освоим техническую часть вопроса. Наверняка практически всем интуитивно понятно, что такое касательная. Если объяснять «на пальцах», то касательная к графику функции – это прямая, которая касается графика функции в единственной точке. При этом все близлежащие точки прямой расположены максимально близко к графику функции.

Применительно к нашему случаю: при касательная (стандартное обозначение) касается графика функции в единственной точке .

И наша задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой .

Как составить уравнение касательной в точке с абсциссой ?

Общая формула знакома нам еще со школы:

Значение нам уже дано в условии.

Теперь нужно вычислить, чему равна сама функция в точке :

На следующем этапе находим производную:

Находим производную в точке (задание, которое мы недавно рассмотрели):

Подставляем значения , и в формулу :

Таким образом, уравнение касательной:

Это «школьный» вид уравнения прямой с угловым коэффициентом. В высшей математике уравнение прямой на плоскости принято записывать в так называемой общей форме , поэтому перепишем найденное уравнение касательной в соответствии с традицией:

Очевидно, что точка должна удовлетворять данному уравнению:

Следует отметить, что такая проверка является лишь частичной. Если мы неправильно вычислили производную в точке , то выполненная подстановка нам ничем не поможет.

Рассмотрим еще два примера.

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Уравнение касательной составим по формуле

1) Вычислим значение функции в точке :

2) Найдем производную. Дважды используем правило дифференцирования сложной функции:

3) Вычислим значение производной в точке :

4) Подставим значения , и в формулу :

Выполним частичную проверку:
Подставим точку в найденное уравнение:

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой

Полное решение и образец оформления в конце урока.

В задаче на нахождение уравнения касательной очень важно ВНИМАТЕЛЬНО и аккуратно выполнить вычисления, привести уравнение прямой к общему виду. И, конечно же, ознакомьтесь со строгим определением касательной, после чего закрепите материал на уроке Уравнение нормали, где есть дополнительные примеры с касательной.

Дифференциал функции одной переменной

С формально-технической точки зрения найти дифференциал функции – это «почти то же самое, что найти производную».

Производная функции чаще всего обозначается через .

Дифференциал функции стандартно обозначается через (так и читается – «дэ игрек»)

Дифференциал функции одной переменной записывается в следующем виде:

Другой вариант записи:

Простейшая задача: Найти дифференциал функции

Читайте так же:
14 лучших программ для рисования на компьютере

1) Первый этап. Найдем производную:

2) Второй этап. Запишем дифференциал:

Дифференциал функции одной или нескольких переменных чаще всего используют для приближенных вычислений.

Помимо «комбинированных» задач с дифференциалом время от времени встречается и «чистое» задание на нахождение дифференциала функции:

Найти дифференциал функции

Перед тем, как находить производную или дифференциал, всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли как-нибудь упростить функцию (или запись функции) ещё до дифференцирования? Смотрим на наш пример. Во-первых, можно преобразовать корень:

(корень пятой степени относится именно к синусу).

Во-вторых, замечаем, что под синусом у нас дробь, которую, очевидно, предстоит дифференцировать. Формула дифференцирования дроби очень громоздка. Нельзя ли избавиться от дроби? В данном случае – можно, почленно разделим числитель на знаменатель:

Функция сложная. В ней два вложения: под степень вложен синус, а под синус вложено выражение . Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции два раза:

Запишем дифференциал, при этом снова представим в первоначальном «красивом» виде:

Когда производная представляет собой дробь, значок обычно «прилепляют» в самом конце числителя (можно и справа на уровне дробной черты).

Найти дифференциал функции

Это пример для самостоятельного решения.

Следующие два примера на нахождение дифференциала в точке:

Вычислить дифференциал функции в точке

Опять, производная вроде бы найдена. Но в эту бодягу еще предстоит подставлять число, поэтому результат максимально упрощаем:

Труды были не напрасны, записываем дифференциал:

Теперь вычислим дифференциал в точке :

В значок дифференциала единицу подставлять не нужно, он немного из другой оперы.

Ну и хорошим тоном в математике считается устранение иррациональности в знаменателе. Для этого домножим числитель и знаменатель на . Окончательно:

Вычислить дифференциал функции в точке . В ходе решения производную максимально упростить.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец оформления и ответ в конце урока.

Вторая производная

Всё очень просто. Вторая производная – это производная от первой производной:

Стандартные обозначения второй производной: , или (дробь читается так: «дэ два игрек по дэ икс квадрат»). Чаще всего вторую производную обозначают первыми двумя вариантами. Но третий вариант тоже встречается, причем, его очень любят включать в условия контрольных заданий, например: «Найдите функции…». А студент сидит и битый час чешет репу, что это вообще такое.

Рассмотрим простейший пример. Найдем вторую производную от функции .

Для того чтобы найти вторую производную, как многие догадались, нужно сначала найти первую производную:

Теперь находим вторую производную:

Рассмотрим более содержательные примеры.

Найти вторую производную функции

Найдем первую производную:

На каждом шаге всегда смотрим, нельзя ли что-нибудь упростить? Сейчас нам предстоит дифференцировать произведение двух функций, и мы избавимся от этой неприятности, применив известную тригонометрическую формулу . Точнее говоря, использовать формулу будем в обратном направлении: :

Находим вторую производную:

Можно было пойти другим путём – понизить степень функции еще перед дифференцированием, используя формулу :

Если интересно, возьмите первую и вторую производные снова. Результаты, естественно, совпадут.

Отмечу, что понижение степени бывает очень выгодно при нахождении частных производных функции. Здесь же оба способа решения будут примерно одинаковой длины и сложности.

Как и для первой производной, можно рассмотреть задачу нахождения второй производной в точке.

Например: Вычислим значение найденной второй производной в точке :

Необходимость находить вторую производную и вторую производную в точке возникает при исследовании графика функции на выпуклость/вогнутость и перегибы.

Найти вторую производную функции . Найти

Это пример для самостоятельного решения.

Аналогично можно найти третью производную, а также производные более высоких порядков. Такие задания встречаются, но встречаются чуть реже.

Решения и ответы:

Пример 2: Найдем производную:

Вычислим значение функции в точке :

Пример 4: Найдем производную:

Вычислим производную в заданной точке:

Пример 6: Уравнение касательной составим по формуле
1) Вычислим значение функции в точке :

2) Найдем производную. Перед дифференцированием функцию выгодно упростить:

3) Вычислим значение производной в точке :

4) Подставим значения , и в формулу :

Пример 8: Преобразуем функцию:

Найдем производную:

Запишем дифференциал:

Пример 10: Найдем производную:

Запишем дифференциал:

Вычислим дифференциал в точке :

Пример 12: Найдем первую производную:

Найдем вторую производную:

Вычислим:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Как решать логические и математические задачи

Решение задач на логику — отличная гимнастика для ума детей и взрослых на каждый день. На ЛогикЛайк более 3500 заданий с ответами и пояснениями, полноценный учебный комплекс для развития логики и способностей к математике.

Решаем логические задачи

Чтобы научиться решать типовые логические задачи, простые и нестандартные математические задачи, важно знать основные приемы и методы их решения. Ведь решить одну и ту же задачу и прийти к правильному ответу во многих случаях можно разными способами.

Знание и понимание различных методов решения поможет определить, какой способ подойдет лучше в каждом конкретном случае, чтобы выбрать наиболее быстрый и простой путь получения ответа.

К «классическим» логическим задачам относятся текстовые задачи, цель решения которых состоит в распознавании объектов или расположении их в определенном порядке в соответствии с заданными условиями.

Более сложными и увлекательными типами заданий являются задачи, в которых отдельные утверждения являются истинными, а другие ложными. Задачи на перемещение, перекладывание, взвешивание, переливание — самые яркие примеры широкого ряда нестандартных задач на логику.

Основные методы решения логических задач

  • метод рассуждений;
  • с помощью таблиц истинности;
  • метод блок-схем;
  • средствами алгебры логики (алгебры высказываний);
  • графический (в том числе, «дерево логических условий», метод кругов Эйлера);
  • метод математического бильярда.
Читайте так же:
Как убрать лицо в Фотошопе

Давайте рассмотрим подробнее с примерами три популярных способа решения логических задач, которые мы рекомендуем использовать в начальной школе (детям 6-12 лет):

  • метод последовательных рассуждений;
  • разновидность метода рассуждений — «с конца»;
  • табличный способ.

Метод последовательных рассуждений

Самый простой способ решения несложных задач заключается в последовательных рассуждениях с использованием всех известных условий. Выводы из утверждений, являющихся условиями задачи, постепенно приводят к ответу на поставленный вопрос.

На столе лежат Голубой , Зеленый , Коричневый и Оранжевый карандаши.

Третьим лежит карандаш, в имени которого больше всего букв. Голубой карандаш лежит между Коричневым и Оранжевым .

Разложи карандаши в описанном порядке.

карандаши

Рассуждаем. Последовательно используем условия задачи для формулирования выводов о позиции, на которой должен лежать каждый следующий карандаш.

  • Больше всего букв в слове «коричневый», значит, он лежит третьим.
  • Известно, что голубой карандаш лежит между коричневым и оранжевым. Справа от коричневого есть только одна позиция, значит, расположить голубой между коричневым и другим карандашом возможно только слева от коричневого.
  • Следующий вывод на основе предыдущего: голубой карандаш лежит на второй позиции, а оранжевый — на первой.
  • Для зеленого карандаша осталась последняя позиция — он лежит четвертым.

Метод «с конца»

Такой способ решения является разновидностью метода рассуждений и отлично подходит для задач, в которых нам известен результат совершения определенных действий, а вопрос состоит в восстановлении первоначальной картины.

Бабушка испекла для троих внуков рогалики и оставила их на столе. Коля забежал перекусить первым. Сосчитал все рогалики, взял свою долю и убежал.
Аня зашла в дом позже. Она не знала, что Коля уже взял рогалики, сосчитала их и, разделив на троих, взяла свою долю.
Третьим пришел Гена, который тоже разделил остаток выпечки на троих и взял свою долю.
На столе осталось 8 рогаликов.

Сколько рогаликов из восьми оставшихся должен съесть каждый, чтобы в результате все съели поровну?

Начинаем рассуждение «с конца».
Гена оставил для Ани и Коли 8 рогаликов (каждому по 4). Получается, и сам он съел 4 рогалика: 8 + 4 = 12.
Аня оставила для братьев 12 рогаликов (каждому по 6). Значит, и сама она съела 6 штук: 12 + 6 = 18.
Коля оставил ребятам 18 рогаликов. Значит, сам съел 9: 18 + 9 = 27.

Бабушка положила на стол 27 рогаликов, рассчитывая, что каждому достанется по 9 штук. Поскольку Коля уже съел свою долю, Аня должна съесть 3, а Гена — 5 рогаликов.

Решение логических задач с помощью таблиц истинности

Суть метода состоит в фиксации условий задачи и полученных результатов рассуждений в специально составленных под задачу таблицах. В зависимости от того, является высказывание истинным или ложным, соответствующие ячейки таблицы заполняются знаками «+» и «-» либо «1» и «0».

Три спортсмена ( красный , синий и зеленый ) играли в баскетбол.
Когда мяч оказался в корзине, красный воскликнул: «Мяч забросил синий».
Синий возразил: «Мяч забросил зеленый».
Зеленый сказал: «Я не забрасывал».

Кто забросил мяч, если только один из троих сказал неправду?

Сначала таблицу составляют: слева записывают все утверждения, которые содержатся в условии, а сверху — возможные варианты ответа.

Затем таблицу последовательно заполняют: верные утверждения отмечают знаком «+», а ложные утверждения — знаком «-«.

таблица истинности

Рассмотрим первый вариант ответа («мяч забросил красный «), проанализируем утверждения, записанные слева, и заполним первый столбик.
Исходя из нашего предположения («мяч забросил красный «), утверждение «мяч забросил синий» — ложь. Ставим в ячейке «-«.
Утверждение «мяч забросил зеленый» также ложь. Заполняем ячейку знаком «-«.
Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке «+».

Рассмотрим второй вариант ответа (предположим, что мяч забросил зеленый ) и заполним второй столбик.
Утверждение «мяч забросил Синий» — ложь. Ставим в ячейке «-«.
Утверждение «мяч забросил зеленый « — истина. Заполняем ячейку знаком «+».
Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – ложь. Ставим в ячейке «-«.

И, наконец, третий вариант: предположим, что «мяч забросил синий «.
Тогда утверждение «мяч забросил синий « — истина. Ставим в ячейке «+».
Утверждение «мяч забросил зеленый» — ложь. Заполняем ячейку знаком «-«. Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке «+».

Так как по условию лишь один из троих ребят сказал неправду, в заполненной таблице выбираем такой вариант ответа, где будет только одно ложное утверждение (в столбце один знак «-«). Подходит третий столбец.

Значит, правильный ответ – мяч забросил синий.

Метод блок-схем

Метод блок-схем считается оптимальным вариантом для решения задач на взвешивание и на переливание жидкостей. Альтернативный способ решения этого типа задач — метод перебора вариантов — не всегда является оптимальным, да и назвать его системным довольно сложно.

  • графически (блок-схемой) описываем последовательность выполнения операций;
  • определяем порядок их выполнения;
  • в таблице фиксируем текущие состояния.

Подробнее об этом и других способах решения логических задач с примерами и описанием хода решения мы рассказываем в полном Курсе ЛогикЛайк по развитию логического мышления.

Отгадывайте самые интересные загадки на логику, собранные специально для постоянных читателей нашего блога и учеников LogicLike, решайте логические задачи онлайн вместе с тысячами детей и взрослых!

Учим детей 5-12 лет решать любые логические и математические задачи. Более 3500 занимательных заданий с ответами и пояснениями.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector